Question

直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內，兩直角邊分別與平面α成 30°和45°角，則這個直角三角形所在平面與平面α所成銳二面角的大小是

60⁰

．

Answer 1

分析：過點C作CD⊥平面α，設CD=h，用h表示三角形ABC的邊AB、AC、BC、ABC的斜邊AB上的高為x，求出角三角形ABC與平面α成的角為β的正弦值，從而求出直角三角形所在平面與平面α所成銳二面角的大小β．

解答：解：過點C作CD⊥平面α，設CD=h，
∵AC，BC與平面α分別成30°，45°的角，
∴BC=

2

h，AC=2h，AB=

6

h，
∵直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內，
S_△=

1

2

BC•AC=10，∴h=

5 2

，
設直角三角形ABC的斜邊AB上的高為x，
由面積法可求 x=

2

3

15 2

，
設直角三角形ABC與平面α成的角為β，
sinβ=

h

x

=

3

2

，∴β=60⁰，
故答案為60⁰．

點評：本題考查與二面角有關的立體幾何綜合題、直線與平面所成的角，三角形ABC與平面α成的角余弦值等于射影面積比上直角三角形ABC的面積．