Question

（2013•昌平區一模）為了解甲、乙兩廠的產品的質量，從兩廠生產的產品中隨機抽取各10件，測量產品中某種元素的含量（單位：毫克）．下表是測量數據的莖葉圖：
規定：當產品中的此種元素含量滿足≥18毫克時，該產品為優等品．
（Ⅰ）試用上述樣本數據估計甲、乙兩廠生產的優等品率；
（Ⅱ）從乙廠抽出的上述10件產品中，隨機抽取3件，求抽到的3件產品中優等品數ξ的分布列及其數學期望E（ξ）；
（Ⅲ）從上述樣品中，各隨機抽取3件，逐一選取，取后有放回，求抽到的優等品數甲廠恰比乙廠多2件的概率．

Answer 1

分析：（I）算出甲廠抽取的樣本中優等品有6件，從而得出優等品率即可．
（II）ξ的所有可能取值為0，1，2，3．由古典概型分別求概率，得到ξ的分布列，再求期望即可．
（III）抽取的優等品數甲廠恰比乙廠多2件包括2個事件，即A=“抽取的優等品數甲廠2件，乙廠0件”，B=“抽取的優等品數甲廠3件，乙廠1件”，分別計算出它們的概率，再利用概率的加法公式得到抽取的優等品數甲廠恰比乙廠多2件的概率即可．

解答：解：（I）甲廠抽取的樣本中優等品有6件，優等品率為

6

10

=

3

5

乙廠抽取的樣本中優等品有5件，優等品率為

5

10

=

1

2

…..（2分）
（II）ξ的取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=

C 0 5 C 3 5

C 3 10

=

1

12

，P（ξ=1）=

C 1 5 C 2 5

C 3 10

=

5

12

，
P（ξ=2）=

C 2 5 C 1 5

C 3 10

=

5

12

，P（ξ=3）=

C 3 5

C 3 10

=

1

12

．
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	1 12	5 12	5 12	1 12

故Eξ=0×

1

12

+1×

5

12

+2×

5

12

+3×

1

12

=

3

2

…（9分）
（III） 抽取的優等品數甲廠恰比乙廠多2件包括2個事件，即A=“抽取的優等品數甲廠2件，乙廠0件”，B=“抽取的優等品數甲廠3件，乙廠1件”P（A）=C

2 3

(

3

5

)2(

2

5

) ×C

0 3

(

1

2

)0(

1

2

)3=

27

500

P（B）=C

3 3

(

3

5

)3×C

1 3

(

1

2

)1(

1

2

)2=

81

1000

抽取的優等品數甲廠恰比乙廠多2件的概率為P（A）+P（B）=

27

200

．…（13分）

點評：本題考查莖葉圖、樣本估計總體、離散型隨機變量的分布列和期望等知識，考查利用所學知識解決問題的能力．