Question

（2013•昌平區一模）設定義域為R的函數f（x）滿足以下條件；則以下不等式一定成立的是（　　）
（1）對任意x∈R，f（x）+f（-x）=0；
（2）對任意x₁，x₂∈[1，a]，當x₂＞x₁時，有f（x₂）＞f（x₁）．
①f（a）＞f（0）
②f（

1+a

2

）＞f（

a

）
③f（

1-3a

1+a

）＞f（-3）
④f（

1-3a

1+a

）＞f（-a）

A．①③

B．②④

C．①④

D．②③

Answer 1

分析：根據已知中的條件（1）（2），結合奇函數在對稱區間上單調性相同，可得函數f（x）在區間[-a，-1]和[1，a]上為增函數，進而判斷四個結論，可得答案．

解答：解：由（1）中對任意x∈R，f（x）+f（-x）=0，可得函數f（x）為奇函數；
由（2）中對任意x₁，x₂∈[1，a]，當x₂＞x₁時，有f（x₂）＞f（x₁），可得函數f（x）在區間[1，a]上為增函數；
則f（a）＞f（1），但無法判斷f（a）與f（0）的大小，故①錯誤；
∵1＜

a

＜

1+a

2

＜a，故f（

1+a

2

）＞f（

a

），即②正確；
由（1）（2）可得函數f（x）在區間[-a，-1]上也為增函數，但無法判斷f（

1-3a

1+a

）與f（-3）的大小，故③錯誤；
∵-a＜

1-3a

1+a

＜-1，故f（

1-3a

1+a

）＞f（-a），即④正確；
故不等式一定成立的是②④
故選：B

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數的奇偶性和函數的單調性，其中分析出函數的單調性是解答的關鍵．