Question

如果函數f（x）對于任意x∈R，存在M使不等式|f（x）|≤M|x|恒成立（其中M是與x無關的正常數），則稱函數f（x）為有界泛函，給出下列函數：
①f₁（x）=1；
②f2(x)=x2；
③f4(x)=

x

x2+x+1

；
④f（x）是定義在R上的奇函數，且滿足對一切實數x₁，x₂均有|f₁（x）-f₂（x）|≤2|x₁-x₂|，其中屬于有界泛函的是

③④

（填上正確序號）．

Answer 1

分析：根據有界泛函數的定義，逐個驗證，對于①取x=0，即可說明①不是有界泛函數；對于②采取反證法，f（x）=x²是有界泛函數，則x²≤M|x|，取x=M+1，得到矛盾，因此②不是有界泛函數；對于③求函數f(x)=

1

x2+x+1

的最大值即可證明③是有界泛函數；對于④，通過取x₂=0，如此可得到正確結論．從而得到答案．

解答：解：函數f（x）對任意的實數x，存在常數M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就稱函數f（x）為有界泛函數，
①取x=0，則|f（x）|=1，|x|=0，故不存在常數M，使得不等式|f（x）|≤M|x|成立，因此①不是有界泛函數；
②若f（x）=x²是有界泛函數，則x²≤M|x|，取x=M+1，則有（M+1）²＞M（M+1），故與假設矛盾，因此②不是有界泛函數；
③f(x)=

x

x2+x+1

≤

4

3

|x|，故④是有界泛函數；
④當x=0，因||f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到|f（x）|≤2|x|成立，這樣的M存在，故正確；
故答案為：③④．

點評：此題是個中檔題．考查函數恒成立問題，以及三角函數的有界性和二次函數配方法求最值等基礎知識，同時考查了學生的閱讀能力，對題意的理解和轉化能力，以及靈活應用知識分析解決問題的能力．