Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱長都等于a，E是BB₁的中點．
（1）求直線C₁B與平面A₁ABB₁所成角的正弦值；
（2）求證：平面AEC₁⊥平面ACC₁A₁；
（3）求點C₁到平面AEC的距離．

Answer 1

（1）解：取A₁B₁中點M，連接C₁M，BM．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴C₁M⊥A₁B₁，C₁M⊥BB₁．
∴C₁M⊥平面A₁ABB₁．
∴∠C₁BM為直線C₁B與平面A₁ABB₁所成的角．
在Rt△BMC₁中，C₁M=a，BC₁=a，
∴sin∠C₁BM==．
（2）證明：取A₁C₁的中點D₁，AC₁的中點F，連接B₁D₁、EF、D₁F．
則有D₁FAA₁，B₁EAA₁．
∴D₁FB₁E．
則四邊形D₁FEB₁是平行四邊形，
∴EFB₁D₁．
由于三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴B₁D₁⊥A₁C₁．
又∵平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁于A₁C₁，且B₁D₁?平面A₁B₁C₁，
∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁，∴EF⊥平面ACC₁A₁．
∵EF?平面AEC₁，∴平面AEC₁⊥平面ACC₁A₁．
（3）由（2）知，EF⊥平面AC₁，則EF是三棱錐E-ACC₁的高．
由三棱柱各棱長都等于a，則EC=AE=EC₁=a，AC₁=a．
∴EF==a．
∵V=V，設三棱錐V的高為h，則h為點C₁到平面AEC的距離．
則S_△AEC•h=S•EF，
即×a²h=×a²•a．
∴h=a，即點C₁到平面AEC的距離是a．
分析：（1）由題意取A₁B₁中點M，再證明C₁M⊥平面A₁ABB₁，即∠C₁BM是所求的角，在Rt△BMC₁中求解；
（2）取A₁C₁的中點D₁，AC₁的中點F，再證D₁FEB₁是平行四邊形和B₁D₁⊥平面ACC₁A₁，即得EF⊥平面ACC₁A₁，故證出面面垂直；
（3）由（2）知EF是三棱錐E-ACC₁的高，求出EF的長，再利用換低公式和體積相等求出點C₁到平面AEC的距離．
點評：本題考查了用面面垂直的性質定理作出線面角再來求解，用面面垂直的判定定理證明面面垂直，求點到面的距離可用體積相等和換底求解；考查了轉化思想和推理論證能力．