Question

若∠B=60°，O為△ABC的外心，點P在△ABC所在的平面上，

OP

=

OA

+

OB

+

OC

，且

BP

•

BC

=8，則邊AC上的高h的最大值為

2

3

．

Answer 1

分析：根據題意，得點P是△ABC的垂心，從而

AP

•

BC

=0，將

BP

•

BC

化簡為

BA

•

BC

=8，結合∠B=60°算出

|BA|

•

|BC|

和三角形ABC的面積．利用余弦定理，算出當且僅當

|BA|

=

|BC|

=4時，

|AC|

有最小值為4，結合三角形面積為4

3

，可得AC上的高h的最大值為2

3

．

解答：解：∵O為△ABC的外心，

OP

=

OA

+

OB

+

OC

，
∴點P是△ABC的垂心，即P是三條高線的交點
∴

BP

•

BC

=（

BA

+

AP

）

BC

=8
∵

AP

•

BC

=0，∴

BA

•

BC

=8
∵∠B=60°，∴

|BA|

•

|BC|

cos60°=8，得

|BA|

•

|BC|

=16
根據正弦定理的面積公式，得S_△ABC=

1

2

|BA|

•

|BC|

sin60°=4

3

∵

|AC|

2=

|BA|

2+

|BC|

2-2

|BA|

•

|BC|

cos60°=

|BA|

2+

|BC|

2-16

|BA|

2+

|BC|

2≥2

|BA|

•

|BC|

=32
∴

|AC|

2≥16，得當且僅當

|BA|

=

|BC|

=4時，

|AC|

有最小值為4
∵S_△ABC=

1

2

|AC|

•h=4

3

，h是邊AC上的高
∴h≤

8 3

|AC|

=2

3

，當且僅當

|BA|

=

|BC|

=

|AC|

=4時，邊AC上的高h的最大值為2

3

故答案為：2

3

點評：本題在△ABC中，已知一個角和兩邊長度之積，求另一邊上高的最大值，著重考查了三角形外心與垂直的聯系、平面向量數量積的運算性質和正余弦定理等知識，屬于中檔題．