Question

在四棱錐中，，，面，為的中點，．

（1）求證：；
（2）求證：面；
（3）求三棱錐的體積．

Answer 1

（（1）因為等腰三角形中 ，同時面，可知結論，
（2）利用中位線性質在中, ∥.得到結論。
（3）

試題分析：解：（1）證明 取中點，連接.   1分
在中，，，
則 ,．
而 
則 在等腰三角形中 . ①       2分
又 在中，,
則 ∥                           3分
因 面，面，
則 ，
又 ，即，
則  面，        4分
，
所以 ．   ②       5分
由①②知 面．
故  ．          6分 　　　　
　　
（2）（法一）取中點，連接．
則 在中, ∥.
又 面, 面
則 ∥面,                         7分
在中，
所以為正三角形，
則                            8分
又
則 ∥.
又 面, 面
則 ∥面,                          9分
而 ，
所以 面∥面.                       10分
又 面
則 ∥面．                         11分
(法二)延長交于，連接．                 7分
在中，，，
則 為的中點                         9分
又 
所以 ∥                          10分
又 面, 面
則 ∥面.                         11分
（3）由（1）（2）知 ,    

因 面， ∥
則 面，                       12分
故       14分
點評：主要是考查了空間中線面的位置關系的判定以及體積的求解，屬于中檔題。