Question

設函數f（x）=x²+x-l，g（x）=e^bx，其中P為自然對數的底．
（1）當b=-1時，求函數F（x）=f（x）•g（x）的極大、極小值；
（2）當b=-1時，求證：函數G（x）=f（x）+g（x）有且只有一個零點；
（3）若不等式g（x）≥ex對?x＞0恒成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當b=-1時，•F（x）=（x²+x-1）e^-x，求出函數的導數，畫出表格，判斷函數的單調性，求出函數的極值
（2）當b=-1時，G（x）=x2+x-l+e-x，當b=-1時，G（x）=x2+x-l+e-x，求出函數的導數，判斷函數的單調性，判斷函數的零點
（3）g（x）=e^bx≥ex，等價于bx≥ln（ex）=1+lnx對?x＞0恒成立，即b≥

1+lnx

x

對?x＞0恒成立，利用恒成立問題，求b的取值范圍

解答：（1）解：當b=-1時，•F（x）=（x²+x-1）e^-x，
則F'（x）=（2x+1）e^-x+（x²+x-1）•（-e^-x）=-（x²-x-2）e^-x=-（x+1）（x-2）e^-x（2分）
令F'（x）=O，得x₁=-1，x₂=2．
當x變化時，F'（0）、F（x）的變化情況如下表：
（4分）
∴當x=-1時，F（x）_極小值=-e：當x=2時，F（x）_極大值=5e^-2（6分）
（2）證：當b=-1時，G（x）=x2+x-l+e-x，顯然G（O）=O，當b=-1時，G（x）=x2+x-l+e-x．（7分）
∵G’（x）=2x+l-e^-x，則G”（x）=2+e^-x＞O，（8分）
∴G’（x）在R上是增函數，
∴當x＜0時，G'（x）＜G'（O）=O，G（x）單調遞減，G（x）＞G（0）=0；
當x＞0時，G'（x）＞G'（0）=O，G（x）單調遞增，G（x）＞G（0）=0．
故函數G（x）有且只有一個零點x=0．（注：或說明G（x）_min=G（0）=O）（l0分）
（3）解：g（x）=e^bx≥ex，等價于bx≥ln（ex）=1+lnx對?x＞0恒成立，即b≥

1+lnx

x

對?x＞0恒成立，
設h(x)=

1+lnx

x

(x＞0)，則b≥h（x）_max（l2分）
而h′(x)=

-1nx

x2

，令h'（x）=O，得x=1．
∵x∈（O，1）時，h'（x）＞0：當x∈（1，+∞）時，h'（x）＜O，
∴h（x）_max=h（1）=l，
∴b≥l為所求．（14分）

點評：該題考查函數導數的求法，以及利用導數判斷函數的單調性，切記要畫圖表，要會用最值求未知量的取值范圍