Question

設函數f（x）=x²+aln（x+1），a∈R．（注：(ln(x+1))′=

1

x+1

）．
（1）討論f（x）的單調性．
（2）若f（x）有兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂，求f（x₂）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數f（x）的定義域，再求導數f′（x），由于含參數a，分類討論解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即；
（2）由（1）知存在兩個極值點時a的范圍，表示出f（x₂），構造函數，利用導數即可求得其最值，從而得到取值范圍；

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為（-1，+∞），
f′（x）=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

=

2(x+ 1 2 )2+a- 1 2

x+1

，
①當a≥

1

2

時，f′（x）＞0，f（x）在（-1，+∞）上單調遞增；
②當a＜

1

2

時，f′（x）=0有兩個解，x1=

-1- 1-2a

2

，x2=

-1+ 1-2a

2

，且x₁＜x₂，
若x₁＞-1，即0＜a＜

1

2

時，-1＜x₁＜x₂，此時f（x）在（-1，x₁），（x₂，+∞）上單調遞增，在（x₁，x₂）上單調遞減；
若x₁≤-1，即a≤0時，x₁≤-1＜x₂，此時f（x）在（-1，x₂）上單調遞減，在（x₂，+∞）上單調遞增；
（2）由（1）知：當0＜a＜

1

2

時f（x）有兩個極值點，x1=

-1- 1-2a

2

，x2=

-1+ 1-2a

2

，x₁＜x₂，
則f（x₂）=(

-1+ 1-2a

2

)2+aln（

-1+ 1-2a

2

+1），令t=

1-2a

，0＜t＜1，a=

1-t2

2

，x2=

t-1

2

，
f（x₂）=(

t-1

2

)2+

1-t2

2

ln

t+1

2

，令g（t）=(

t-1

2

)2+

1-t2

2

ln

t+1

2

（0＜t＜1），g′（t）=-tln

t+1

2

＞0，
所以g（t）在（0，1）上為增函數，所以g（0）＜g（t）＜g（1），即

1

4

+

1

2

ln

1

2

＜g（t）＜0，
故f（x₂）的取值范圍為（

1

4

+

1

2

ln

1

2

，0）．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性及函數最值問題，考查分類討論思想，考查學生綜合運用所學知識分析解決問題的能力．