Question

已知向量

a

=(2cosx，sinx)，

b

=(sinx，2sinx)定義f(x)=

a

•

b

-1．
（1）求函數(shù)y=f（x），x∈R的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f(x+θ)，(

π

2

＜θ≤π)為偶函數(shù)，求θ的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，以及三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為

2

sin（2x-

π

4

），根據(jù) 2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z求出函數(shù)的減區(qū)間．
（2）由題意可得 y=

2

sin[2（x+θ）-

π

4

]為偶函數(shù)，再由

π

2

＜θ≤π 可得 2θ-

π

4

=

3π

2

，由此求得 θ的值．

解答：解：（1）函數(shù)y=f（x）=

a

•

b

-1=2sinxcosx+2sin²x-1=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

）．
令 2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得  kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

，k∈z．
故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，k∈z．
（2）若函數(shù)y=f(x+θ)，(

π

2

＜x≤π) 為偶函數(shù)，則y=

2

sin[2（x+θ）-

π

4

]=

2

sin（2x+2θ-

π

4

）為偶函數(shù)．
再由

π

2

＜θ≤π 可得 2θ-

π

4

=

3π

2

，
∴θ=

7π

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．