Question

已知拋物線(xiàn)方程為x²=12y，直線(xiàn)l過(guò)其焦點(diǎn)，交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，|AB|=16．
1）求拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程；
2）求A、B中點(diǎn)的縱坐標(biāo)．

Answer 1

分析：1）由拋物線(xiàn)方程x²=12y即可求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程；
2）（解法一）設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A、B的中點(diǎn)M（x₀，y₀），直線(xiàn)的方程：y=kx+3，
聯(lián)立方程組得：

y=kx+3 x2=12y

，消去y，利用△＞0判斷后，用弦長(zhǎng)公式|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=16求得k，y₀可求；
（解法二）設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A、B的中點(diǎn)M（x₀，y₀），|FA|+|FB|=|AB|=16，由拋物線(xiàn)定義，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，可得y₁+3+y₂+3=16，而y0=

y1+y2

2

，從而問(wèn)題解決．

解答：解：1）由拋物線(xiàn)方程為x²=12y，對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)方程x²=2py（p＞0）可得2P=12，P=6，
∴焦點(diǎn)F（0，3），準(zhǔn)線(xiàn)方程為：y=-3…（4分）
2）（解法一）設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A、B的中點(diǎn)M（x₀，y₀）．
則直線(xiàn)l的方程：y=kx+3，與拋物線(xiàn)聯(lián)立方程組得：…（5分）

y=kx+3 x2=12y

，…（7分）
消去y，整理得：x²-12kx-36=0…（9分）
方程中，△=（-12k）²-4（-36）=144k²+144＞0，有兩個(gè)不同的根；
由根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=12k，x₁x₂=-36…（10分）
又|AB|=16，即|AB|=

(1+k2)((x1+x2)-4x1x2)

=16，…（11分）
代入，整理得：(1+k2)2=

16

9

，
∴k2=

1

3

…（12分）
∵M(jìn)（x₀，y₀）在直線(xiàn)l上，
∴y₀=kx₀+3，y0=k•

x1+x2

2

+3=6k2+3…（13分）
∴y₀=5，即A、B中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5…（14分）
（解法二）：設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A、B的中點(diǎn)M（x₀，y₀），
過(guò)A、B分別作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為P、Q，焦點(diǎn)F在弦AB上，…（5分）
|FA|+|FB|=|AB|=16，…（6分）
由拋物線(xiàn)定義，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，…（8分）
而|AP|=y1+

p

2

=y1+3，…（9分）
|BP|=y2+

p

2

=y2+3，…（10分
∴y₁+3+y₂+3=16，y₁+y₂=10，…（12分）
  y0=

y1+y2

2

=5…（13分）
即A、B中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，著重考查弦長(zhǎng)公式的使用及拋物線(xiàn)定義的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．