Question

在棱長AB=AD=2，AA₁=3的長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是平面BCC₁B₁上的動點，點F是CD的中點．試確定點E的位置，使D₁E⊥平面AB₁F．

Answer 1

分析：分別以AB、AD、AA₁為x、y、z軸建立空間直角坐標系如圖所示．可得A、B₁、D₁、F各點的坐標，設E（2，y，z），得出向量

AF

、

AB 1

和

D1E

的坐標．若D₁E⊥平面AB₁F，則D₁E⊥AB₁且D₁E⊥AF，利用垂直向量數量積為零的方法建立方程組，解出y=1且z=

5

3

，得E（2，1，

5

3

），因此可得存在平面BCC₁B₁上的動點E，當E到BB₁和BC的距離分別為1、

5

3

時，可使D₁E⊥平面AB₁F．

解答：解：分別以AB、AD、AA₁為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示
可得A（0，0，0），B₁（2，0，3），D₁（0，2，3），F（1，2，0）
設E（2，y，z），則

AF

=(1，2，0)，

AB 1

=(2，0，3)，

D1E

=(2，y-2，z-3)
若D₁E⊥平面AB₁F，則D₁E⊥AB₁且D₁E⊥AF
∴

D1E • AF =2+2(y-2)=0 D1E • AB1 =4+3(z-3)=0

，解之得y=1，z=

5

3

即E的坐標為（2，1，

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3

）時，D₁E⊥平面AB₁F．
因此，存在平面BCC₁B₁上的動點E，當E到BB₁的距離等于1且到BC的距離
等于

5

3

時，可使D₁E⊥平面AB₁F．

點評：本題在長方體中探索線面垂直垂直的問題，著重考查了長方體的性質、線面垂直的性質與判定和利用空間坐標系研究線面垂直等知識，屬于中檔題．