Question

探究函數f（x）=x+

4

x

，x∈（0，+∞）的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.002	4.04	4.3	5	4.8	7.57	…

請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
（1）函數f（x）=x+

4

x

（x＞0）在區間

（0，2）

上遞減；并利用單調性定義證明．函數f（x）=x+

4

x

（x＞0）在區間

（2，+∞）

上遞增．當x=

2

時，y_最小=

4

．
（2）函數f（x）=x+

4

x

（x＜0）時，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？（直接回答結果，不需證明）

Answer 1

分析：（1）根據表格可求得函數的單調區間，根據單調性可求得最小值，利用單調性的定義可作出證明；
（2）根據奇函數的性質可作出回答；

解答：解：（1）根據表格可知，f（x）=x+

4

x

（x＞0）在區間（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，
所以x=2時，f（x）有最小值f（2）=4；
證明如下：
設2＞x₂＞x₁＞0，則f（x₂）-f （x₁）=（x2+

4

x2

）-（x1+

4

x1

）=

(x2-x1)(x1x2-4)

x1x2

．
∵2＞x₂＞x₁＞0，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-4＜0，
∴f（x₂）-f （x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）．
∴f（x）在（0，2）上單調遞減．
（2）由（1）知，f（x）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，
f（x）在∈（0，+∞）的最小值為f（2）=4，
又f（x）=x+

4

x

為奇函數，所以x＜0時，f（x）有最大值f（-2）=-4；
故答案為：（1）（0，2）；（2，+∞），2，4；

點評：本題考查函數單調性的性質及其證明，屬中檔題．