Question

【題目】已知拋物線E：y2=8x，圓M：（x﹣2）2+y2=4，點(diǎn)N為拋物線E上的動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段ON的中點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）點(diǎn)Q（x0 ， y0）（x0≥5）是曲線C上的點(diǎn)，過點(diǎn)Q作圓M的兩條切線，分別與x軸交于A，B兩點(diǎn)，求△QAB面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)P（x，y），則點(diǎn)N（2x，2y）在拋物線E：y2=8x上，

∴4y2=16x，

∴曲線C的方程為y2=4x；

（2）解：設(shè)切線方程為y﹣y0=k（x﹣x0）．

令y=0，可得x= ，

圓心（2，0）到切線的距離d= =2，

整理可得 ．

設(shè)兩條切線的斜率分別為k1，k2，則k1+k2= ，k1k2= ，

∴△QAB面積S= |（x0﹣ ）﹣（x0﹣ ）|y0=2

設(shè)t=x0﹣1∈[4，+∞），則f（t）=2（t+ +2）在[4，+∞）上單調(diào)遞增，

∴f（t）≥ ，即△QAB面積的最小值為

【解析】（1）利用代入法，求曲線C的方程；（2）設(shè)切線方程為y﹣y0=k（x﹣x0），圓心（2，0）到切線的距離d= =2，整理可得 ，表示出面積，利用函數(shù)的單調(diào)性球心最小值．