Question

已知A、B、C是直線l上不同的三點，O是l外一點，向量滿足：．記y=f（x）．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的解析式：
（Ⅱ）若對任意，不等式|a-lnx|-ln[f'（x）-3x]＞0恒成立，求實數a的取值范圍：
（Ⅲ）若關于x的方程f（x）=2x+b在（0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數b的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）向量滿足：．
∴
∵A、B、C是直線l上不同的三點
∴
∴
∴f（x）=；
（Ⅱ）∵，∴原不等式為．
得，或，①…（4分）
設，
依題意知a＜g（x）或a＞h（x）在x∈上恒成立，
∵，，
∴g（x）與h（x）在上都是增函數，要使不等式①成立，
當且僅當或，∴，或．…（8分）
（Ⅲ）方程f（x）=2x+b即為，
變形為．
令φ，
∴φ…（10分）
列表寫出x，φ'（x），φ（x）在[0，1]上的變化情況：

x	0	（0，）		（，1）	1
?φ'（x）		小于0	0	大于0
?φ（x）	ln2	單調遞減	取極小值	單調遞增

…（12分）
顯然φ（x）在（0，1]上的極小值也即為它的最小值．
現在比較ln2與的大小；
∵，∴．
∴要使原方程在（0，1]上恰有兩個不同的實根，必須使．
即實數b的取值范圍為．…（14分）
分析：（Ⅰ）根據向量滿足：，結合A、B、C是直線l上不同的三點，即可求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求導函數，原不等式為，得，或，分別求出對應函數的最小值與最大值，即可求得結論；
（Ⅲ）方程f（x）=2x+b變形為，研究左邊對應函數的最值，即可求得實數b的取值范圍．
點評：本題考查導數知識的運用，考查向量知識，考查函數的單調性與最值，考查函數與方程思想，屬于中檔題．