Question

已知A、B、C是直線l上的不同的三點，O是外一點，則向量

OA

、

OB

、

OC

滿足：

OA

=λ

OB

+μ

OC

，其中λ+μ=1．
（1）若A、B、C三點共線且有

OA

-(3x+1)•

OB

-(

3

2+3x

-y)•

OC

=

0

成立．記y=f（x），求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若對任意x∈[

1

6

，

1

3

]，不等式|a-lnx|-ln[f（x）-3x]＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由條件求得

OA

=(3x+1)•

OB

+(

3

2+3x

-y)•

OC

，根據(jù)A、B、C在同一條直線上，可得(3x+1)+(

3

2+3x

-y)=1，由此求得函數(shù)y=f（x）的解析式．
（2）原不等式|a-lnx|-ln(

3

2+3x

)＞0，即 a＜lnx-ln

3

2+3x

，或a＞lnx+ln

3

2+3x

，利用單調(diào)性求出lnx-ln

3

2+3x

的最小值和lnx+ln

3

2+3x

的最大值，
即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵

OA

-(3x+1)•

OB

-(

3

2+3x

-y)•

OC

=

0

，
∴

OA

=(3x+1)•

OB

+(

3

2+3x

-y)•

OC

，（1分）
又∵A、B、C在同一條直線上，∴(3x+1)+(

3

2+3x

-y)=1…（2分），
y=

3

2+3x

+3x，即f(x)=

3

2+3x

+3x，…（5分）
（2）∵f(x)=

3

2+3x

+3x，
∴原不等式為|a-lnx|-ln(

3

2+3x

)＞0，
得a＜lnx-ln

3

2+3x

，或a＞lnx+ln

3

2+3x

，…（8分）
設g(x)=lnx-ln

3

2+3x

=ln

2x+3x2

3

，h(x)=lnx+ln

3

2+3x

=ln

3x

2+3x

，…（10分）
依題意知a＜g（x）或a＞h（x）在x∈[

1

6

，

1

3

]上恒成立，∵g（x）與h（x）在[

1

6

，

1

3

]上都是增函數(shù)，…（12分）
∴要使不等式①成立，當且僅當a＜g(

1

6

)或a＞h(

1

3

)，
即a＜ln

5

36

，或a＞ln

1

3

，…（14分）

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運算，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．