Question

等比數列{a_n}的前n項和為S_n，已知對任意的n∈N*，點（n，S_n）均在函數y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數）的圖像上，
（1）求r的值；
（2）當b=2時，記b_n=2（log₂a_n+1）（n∈N*），證明：對任意的n∈N*，不等式成立。

Answer 1

解：（1）因為對任意的n∈N*，點（n，S_n）均在函數y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數）的圖像上，
所以得，
當n=1時，，
當n≥2時，，
又因為{a_n}為等比數列，所以r=-1，公比為b，。
（2）當b=2時，，，
則，
所以，
下面用數學歸納法證明不等式成立，
①當n=1時，左邊=，右邊=，因為＞，所以不等式成立；
②假設當n=k時不等式成立，即成立，
則當n=k+1時，
左邊=
，
所以當n=k+1時，不等式也成立；
由①、②可得不等式恒成立。