Question

如圖：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=A₁A，AC=BC，點D、E分別為C₁C、AB的中點，O為A₁B與AB₁的交點．
（Ⅰ）求證：EC∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求證：AB₁⊥平面A₁BD．

Answer 1

分析：（1）由O是A₁B與AB₁的交點，知O為A₁B的中點，在△A₁BA中，由E為AB中點，知EO平行A₁A，EO=

A1A

2

，且EO垂直AB，由D為C₁C的中點，知DC=

C1C

2

=

A1A

2

=EO，由此能夠證明EC∥平面A₁BD．
（2）由四邊形EODC為矩形，知OD⊥OE，由AC=BC，E為AB中點，知EC⊥AB，故OD⊥AB，OD⊥平面ABB₁A₁，由此能夠證明AB₁⊥平面A₁BD．

解答：解：（1）∵O是A₁B與AB₁的交點，
直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=A₁A，AC=BC，
∴O為A₁B的中點，
在△A₁BA中，∵E為AB中點，
∴EO平行A₁A，EO=

A1A

2

，且EO垂直AB，
∵D為C₁C的中點，
∴DC=

C1C

2

=

A1A

2

=EO，
∵EO∥DC，且EO=DC，EO垂直AB，
∴四邊形EODC為矩形，
∴EC∥OD，且EC=OD，
∵OD?平面A₁BD，
EC?平面A₁BD，
∴EC∥平面A₁BD．
（2）∵四邊形EODC為矩形，∴OD⊥OE，
∵AC=BC，E為AB中點，∴EC⊥AB，
∴OD⊥AB，
∴OD⊥平面ABB₁A₁，
∴OD垂直AB₁，
∵AB=A₁A，∴側面ABB₁A₁為正方形，
∴AB₁⊥A₁B，
∵A₁B與OD都在平面A₁BD上，A₁B∩OD=O，
∴AB₁⊥平面A₁BD．

點評：本題考查EC∥平面A₁BD和AB₁⊥平面A₁BD的證明．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．