Question

在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，CP是圓O的切線，P為切點，直線CO交圓O于A，B兩點，AD⊥CP，垂足為D．
求證：∠DAP=∠BAP．
B．選修4-2：矩陣與變換
設a＞0，b＞0，若矩陣A=

.

a 0 0 b

.

把圓C：x²+y²=1變換為橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）求a，b的值；（2）求矩陣A的逆矩陣A^-1
C．選修4-4：坐標系與參數方程在極坐標系中，已知圓C：ρ=4cosθ被直線l：ρsin（θ-\frac{π}{6}）=a截得的弦長為2

3

求實數a的值．
D．選修4-5：不等式選講已知a，b是正數，求證：a²+4b²+

1

ab

≥4．

Answer 1

分析：A、利用CP與圓O相切，AB為圓O直徑，可得∠BAP=90°-∠PBA；利用AD⊥CP，可得∠DAP=90°-∠DPA，從而可得結論；
B．（1）確定矩陣A變換，坐標之間的關系，利用橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=1及圓的方程，可求a，b的值；
（2）由（1）得A=

2 0 0 3

，求出行列式，即可求得逆矩陣；
C．化極坐標方程為直角坐標方程，求出圓心C到直線l的距離，利用圓C被直線l截得的弦長為2

3

，可求a的值；
D．兩次利用基本不等式，即可證得結論．

解答：A、證明：因為CP與圓O相切，所以∠DPA=∠PBA．…2分           
因為AB為圓O直徑，所以∠APB=90°，
所以∠BAP=90°-∠PBA．…6分                           
因為AD⊥CP，所以∠DAP=90°-∠DPA，
所以∠DAP=∠BAP．  …10分 
B．選修4-2：矩陣與變換
解：（1）設點P（x，y）為圓C：x²+y²=1上任意一點，經過矩陣A變換后對應點為P′（x′，y′）
則

a 0 0 b

x y

=

ax by

=

x′ y′

，所以

x′=ax y′=by

． …2分
因為點P′（x′，y′）在橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=1上，
所以

a2x2

4

+

b2y2

3

=1，這個方程即為圓C方程． …6分
所以

a2=4 b2=3

，因為a＞0，b＞0，所以a=2，b=

3

．       …8分
（2）由（1）得A=

2 0 0 3

，所以

.

2 0 0 3

.

=2

3

，所以A^-1=

1 2 0 0 3 3

．  …10分
C．選修4-4：坐標系與參數方程
解：因為圓C的直角坐標方程為（x-2） ²+y²=4，直線l的直角坐標方程為x-

3

y+2a=0． …4分
所以圓心C到直線l的距離d=

|2+2a|

2

=|1+a|． …6分
因為圓C被直線l截得的弦長為2

3

，所以r²-d²=3．
即4-（1+a）²=3．解得a=0，或a=-2． …10分
D．選修4-5：不等式選講
證明：因為a，b是正數，所以a²+4b²≥4ab． …2分
所以a²+4b²+

1

ab

≥4ab+

1

ab

≥2

4ab× 1 ab

=4．
即a²+4b²+

1

ab

≥4．   …10分

點評：本題考查選講知識，考查學生分析解決問題的能力，知識綜合性強．