Question

一圓形紙片的半徑為10cm，圓心為O，F為圓內一定點，OF=6cm，M為圓周上任意一點，把圓紙片折疊，使M與F重合，然后抹平紙片，這樣就得到一條折痕CD，設CD與OM交于P點，如圖

（1）求點P的軌跡方程；
（2）求證：直線CD為點P軌跡的切線.

Answer 1

⑴⑵略

（1）由題意知點M、F關于直線CD對稱，可聯想橢圓的定義求點P的軌跡；（2）可用反證法來證明。
解（1）由題意知點M、F關于直線CD對稱，連結PF，則PF=NF,故PF+PO=PO+PM=10>6=OF.
故點P 的軌跡是以O、F為焦點、長軸長為10 的橢圓。以OF所在的直線為x軸，線段OF的中垂線為y軸建立平面直角坐標系。易求得點P的方程為：；
（2）假設CD不是點P軌跡的切線。則直線CD與橢圓一定相交。
設Q是CD上異于P的另一個交點，
則QF+QO=QM+QO>OM，這與點Q在橢圓上矛盾，假設不成立。
故直線CD與該橢圓切于點P.