Question

【題目】已知函數(shù)的極大值為,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）若函數(shù),對(duì)任意,恒成立.

（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ii）證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）（ii）證明見解析

【解析】

（1）求函數(shù)定義域,然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,得出時(shí),有極大值,即可算出實(shí)數(shù)的值.

（2）（i）由（1）知,,代入中,根據(jù),整理至即對(duì)恒成立,設(shè)新函數(shù),將原問題轉(zhuǎn)化為：對(duì)恒成立,分的取值范圍分類討論即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.（ii）要證,

轉(zhuǎn)化為證證,整理至,設(shè)兩個(gè)新函數(shù),,分別對(duì)兩個(gè)新函數(shù)求導(dǎo),判斷單調(diào)性,即可證得成立.

解：（1）的定義域?yàn)?/span>,

,

令,解得：,

令,解得：,

所以當(dāng),為增函數(shù),當(dāng),為減函數(shù),

所以時(shí),有極大值,

所以;

（2）（i）由（1）知,,

則,即對(duì)恒成立,

所以對(duì)恒成立,

即對(duì)恒成立,

設(shè),則對(duì)恒成立,

,

設(shè),,

原問題轉(zhuǎn)化為：對(duì)恒成立,

①若,當(dāng)時(shí),

則,

不合題意;

②若,則對(duì)恒成立,

符合題意

③若,則,

令,,令,,

所以當(dāng)時(shí),為減函數(shù),

當(dāng)時(shí),為增函數(shù),

所以,

即,即;

綜上.

（ii）要證,

只需證,

即,即,

只需證,

設(shè),,

因?yàn)?/span>

所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以：

因?yàn)?/span>恒成立,

所以在上單調(diào)遞增,

所以,則,則,

由（2）可知,,所以;

所以,

即,得證.

所以 成立.