Question

（2012•香洲區模擬）已知f（x）=3x²-x+m，（x∈R），g（x）=lnx
（1）若函數 f（x）與 g（x）的圖象在 x=x₀處的切線平行，求x₀的值；
（2）求當曲線y=f（x）與y=g（x）有公共切線時，實數m的取值范圍；并求此時函數F（x）=f（x）-g（x）在區間[ 

1

3

 ， 1 ]上的最值（用m表示）．

Answer 1

分析：（1）先求出f（x）和g（x）的導數，根據函數 f（x）與 g（x）的圖象在 x=x₀處的切線平行，可知斜率相等，也即f′（x）和g′（x）在x=x₀處的值相等，從而求出x₀的值，同時注意由于g（x）=lnx，可知x＞0判斷x₀的取值；
（2）由題知曲線y=f（x）與y=g（x）有公共切線時，說明有公共切點，根據（1）可知切點橫坐標為

1

2

，可以求出m的范圍，已知函數F（x）=f（x）-g（x），代入進行求導，令F′（x）=0，求出極值點，判斷單調區間，列表求其最值；

解答：解：（1）∵f′（x）=6x-1，g/(x)=

1

x

…（2分）
由題意知6x0-1=

1

x0

，即6

x

2 0

-x0-1=0…（3分）
解得，x0=

1

2

或x0=-

1

3

…（4分）
∵x₀＞0，∴x0=

1

2

…（5分）
（2）若曲線y=f（x）與y=g（x）相切且在交點處有公共切線
由（1）得切點橫坐標為

1

2

，…（6分）
∴f(

1

2

)=g(

1

2

)，
∴

3

4

-

1

2

+m=ln

1

2

，
∴m=-

1

4

-ln2，…（8分）
由數形結合可知，當m=-

1

4

-ln2時，f（x）與g（x）有公共切線           …（9分）
∵函數F（x）=f（x）-g（x），
∴F'（x）=f′（x）-g′（x）=6x-1-

1

x

=

6x2-x-1

x

=

(3x+1)(2x-1)

x

…（10分）
則F'（x）與F（x）在區間[ 

1

3

 ， 1 ]的變化如下表：

x	[ 1 3 ， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，1]
F'（x）	-	0	+
F（x）	↘	極小值	↗

…（12分）
又∵F(

1

3

)=m+ln3，F(1)=2+m＞F(

1

3

)
∴當x∈[ 

1

3

 ， 1 ]時，F(x)min=F(

1

2

)=m+

1

4

+ln2，（m=-

1

4

-ln2），
F（x）_max=F（1）=m+2，（m=-

1

4

-ln2）              …（14分）

點評：第一問容易出錯的是x＞0的隱含條件，許多同學不知道，從而得出兩個x₀的值；第二問對F（x）正確求導，并求出極值是解題的關鍵，對這類利用導數求函數最值問題，用列表的方式來求解，不會容易出錯，本題難度不大；