Question

（2012•香洲區模擬）已知向量

m

=(-2sinx，-1)，

n

=(-cosx，cos2x)，定義f（x）=

m

•

n

（1）求函數f（x）的表達式，并求其單調增區間；
（2）在銳角△ABC中，角A、B、C對邊分別為a、b、c，且f（A）=1，bc=8，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）通過向量的數量積，二倍角的三角函數求函數f（x）的表達式，通過正弦函數的單調增區間求其單調增區間；
（2）利用f（A）=1，求出A的值，利用bc=8，通過△ABC的面積公式求解即可．

解答：解：（1）因為已知向量

m

=(-2sinx，-1)，

n

=(-cosx，cos2x)，
f（x）=

m

•

n

=2sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

）…（3分）
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

．
所以，函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z．…（6分）
（2）∵f（A）=1，
∴

2

sin（2A-

π

4

）=1，
∴2A-

π

4

=2Kπ+

π

4

∴A=kπ+

π

4

，又△ABC為銳角三角形，
則A=

π

4

，又bc=8，
則△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

1

2

×8×

2

2

=2

2

．…（12分）

點評：題考查了平面向量的數量積運算，二倍角的正弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．