Question

已知點P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n為正整數）都在函數y=(

1

2

)x圖象上．
（Ⅰ）若數列{a_n}是等差數列，證明：數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）設a_n=n（n為正整數），過點P_n，P_n+1的直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為c_n，試求最小的實數t，使c_n≤t對一切正整數n恒成立；
（Ⅲ）對（Ⅱ）中的數列{a_n}，對每個正整數k，在a_k與a_k+1之間插入3^k-1個3，得到一個新的數列{d_n}，設S_n是數列{d_n}的前n項和，試探究2008是否數列{S_n}中的某一項，寫出你探究得到的結論并給出證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若設數列{a_n}的公差為d，則bn=(

1

2

)an，

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d為常數，即證數列{b_n}是等比數列．
（Ⅱ）若a_n=n，則bn=(

1

2

)n，得點Pn(n，(

1

2

)n)，Pn+1(n+1，(

1

2

)n+1)，從而得斜率kPnPn+1，即得直線P_nP_n+1的方程，求得它與x軸，y軸的交點A_n，B_n，得數列{c_n}的通項公式，{c_n}的增減性，知cn≤c1=

9

8

，即得最小的實數t的值．
（Ⅲ）由a_n=n，知數列{d_n}中，從第一項a₁開始到a_k為止的所有項的和是（1+2+…+k）+（3¹+3²+…+3^k-1），k=7時，和是28+

37-3

2

=1120＜2008，k=8時，和是36+

38-3

2

=3315＞2008；2008-1120=888是3的倍數，所以存在自然數m，使S_m=2008；求出m的值即可．

解答：解：（Ⅰ）設數列{a_n}的公差為d，由已知bn=(

1

2

)an，
所以，

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d（常數），
所以，數列{b_n}是等比數列．
（Ⅱ）若a_n=n，則bn=(

1

2

)n，
∴Pn(n，(

1

2

)n)，Pn+1(n+1，(

1

2

)n+1)，kPnPn+1=

( 1 2 )n+1-( 1 2 )n

(n+1)-n

=-(

1

2

)n+1，
直線P_nP_n+1的方程為y-(

1

2

)n=-(

1

2

)n+1(x-n)，
它與x軸，y軸分別交于點A_n（n+2，0），Bn(0，

n+2

2n+1

)，
∴cn=

1

2

•|OAn|•|OBn|=

(n+2)2

2n+2

，
cn-cn+1=

(n+2)2

2n+2

-

(n+3)2

2n+3

=

n2+2n-1

2n+3

＞0，
∴數列{c_n}隨n增大而減小，
∴cn≤c1=

9

8

，即最小的實數t的值為

9

8

．
（Ⅲ）∵a_n=n，∴數列{d_n}中，從第一項a₁開始到a_k為止（含a_k項）的所有項的和是：
（1+2+…+k）+（3¹+3²+…+3^k-1）=

k(k+1)

2

+

3k-3

2

，
當k=7時，其和是28+

37-3

2

=1120＜2008，
而當k=8時，其和是36+

38-3

2

=3315＞2008．
又因為2008-1120=888=296×3，是3的倍數，
所以存在自然數m，使S_m=2008．
此時m=7+（1+3+3²+…+3⁵）+296=667．

點評：本題考查了數列與函數的綜合應用問題，解題時靈活應用了等比關系的確定，數列的求和公式等知識，是較難的題目．