Question

【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，過定點的直線交橢圓于兩點，連接并延長交于，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明過程詳見解析

【解析】

（1）設(shè)出圓的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出b，利用離心率求出a，即可求出橢圓C的標準方程；

（2）依題意可知直線斜率存在，設(shè)方程為，代入整理得

， 與橢圓有兩個交點，.

設(shè)，，直線，的斜率分別為，，利用韋達定理證明

即可.

解：（1）依題意可設(shè)圓方程為，

圓與直線相切，.，

由解得，

橢圓的方程為.

（2）依題意可知直線斜率存在，設(shè)方程為，代入整理得

，

與橢圓有兩個交點，，即.

設(shè)，，直線，的斜率分別為，

則，.

，

即.