Question

已知函數(shù)，其中a是大于零的常數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）當(dāng)a∈（1，4）時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（3）若?x∈[0，+∞）恒有f（x）＞0，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1），
因?yàn)閍＞0，故當(dāng)a＞1時(shí)，定義域?yàn)椋?1，+∞）；
當(dāng)a=1時(shí)，定義域?yàn)椋?1，0）∪（0，+∞）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，定義域?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/388442.png' />．
（2）令，
當(dāng)a∈（1，4）時(shí)，由（1）得x∈（-1，+∞），故x+1＞0，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立．
故f（x）的最小值為．
（3）?x∈[0，+∞），恒有f（x）＞0，
即，又x∈[0，+∞），
則a＞（2-x）（x+1），a＞-x²+x+2恒成立，故a＞2．
分析：（1）、函數(shù)f（x）的定義域要求），解這個(gè)分式不等式時(shí)，因?yàn)楹�有參�?shù)a，所以要分類討論．
（2）、令，當(dāng)a∈（1，4）時(shí)，由函數(shù)f（x）的定義域可知x+1＞0，從而利用均值不等式求出函數(shù)f（x）的最小值．
（3）、由題設(shè)條件可知，，能推導(dǎo)出a＞（2-x）（x+1）恒成立，從而推導(dǎo)出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合題，難度較大，在解第（1）題時(shí)要注意對(duì)參數(shù)a進(jìn)行妥類討論，解第（2）題時(shí)要注意均值不等式的合理運(yùn)用，解第（3）題時(shí)要進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化．