Question

設函數f(x)的定義域為(0,+∞),且對任意正實數x、y,有f(xy)=f(x)+f(y),已知f(2)=1,且當x＞1時,f(x)＞0.

(1)求證:f()=-1;

(2)判斷f(x)的單調性;

(3)數列{a_n}中,a_n＞0,且f(S_n)=f(a_n)+f(a_n+1)-1(n∈N^*),其中S_n是{a_n}的前n項的和,求a_n;

(4)在(3)的條件下,是否存在正常數M,使得2ⁿ·a₁·a₂·…·a_n≥M(2a₁-1)(2a₂-1)…(2a_n-1)對一切n∈N^*都成立?若存在,求出M的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

(1)證明：f(1×1)=f(1)+f(1) 2f(1)=f(1),∴f(1)=0.

    又f(1)=f(×2)=f()+f(2),得f()=f(1)-f(2)=-f(2)=-1.

(2)解：當x＞0時,0=f(1)=f()=f(x)+f(),∴f()=-f(x).

∴f()=f(x)-f(y)(x＞0,y＞0).

    設0＜x₁＜x₂,則＞1,

∴f(x₂)-f(x₁)=f()＞0,

    即f(x₂)＞f(x₁).∴f(x)在(0,+∞)上為增函數.

(3)解：f(S_n)=f(),

∵f(x)在(0,+∞)上為增函數,

∴S_n=,即2S_n=a_n²+a_n.                 (*)

    由(*)知,2S₁=2a₁=a₁²+a₁a₁=1.

    當n≥2時,2S_n-1=a_n-1²+a_n-1,                  (**)

(*)-(**)得2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1,

    即a_n+a_n-1=(a_n+a_n-1)(a_n-a_n-1).

    由條件知a_n+a_n-1＞0,

∴a_n-a_n-1=1(n≥2).

∴{a_n}是公差為1,首項為1的等差數列.∴a_n=n.

(4)解：若存在M,使對一切n∈N^*,2ⁿ·a₁·a₂·…·a_n≥M(2a₁-1)(2a₂-1)…(2a_n-1)成立,即2ⁿ·1·2·3·…·n≥M·1·3·5·…·(2n-1)成立,

∴M≤對一切n∈N^*都成立.

    令b_n=,

    則b_n＞0,且=＞1,

∴b_n＜b_n+1,這表明數列{b_n} 為單調遞增函數.

∴只要M≤b₁==即可.

∴當正常數M∈(0,］時,題設中的不等式對一切n∈N^*都成立.