Question

設a為正實數，函數f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
（Ⅰ）若f（0）≤-1，求a的取值范圍；
（Ⅱ）求f（x）的最小值；
（Ⅲ）若x∈（a，+∞），求不等式f（x）≥1的解集．

Answer 1

（Ⅰ）∵函數f（x）=2x²+（x-a）|x-a|，
∴若f（0）≤-1，則-a|a|≤-1，
∴a²≥1，
解得a≥1，
故a的取值范圍是[1，+∞）．…（2分）
（Ⅱ）當x≥a時，f（x）=3x²-2ax+a²，
∵對稱軸x=

a

3

，
∴f(x)min=f(a)=2a2，…（4分）
當x＜a時，f（x）=x²+2ax-a²，
∵對稱軸x=-a，
∴f(x)min=f(-a)=-2a2，
綜上：f(x)min=-2a2．…（6分）
（Ⅲ）x∈（a，+∞）時，f（x）≥1，
得3x²-2ax+a²-1≥0，
△=4a²-12（a²-1）=12-8a²，
當△≤0，即a≥

6

2

時，
不等式的解為{x|x＞a}；…（8分）
當△＞0，即0＜a＜

6

2

時，
得

(x- a- 3-2a2 3 )(x- a+ 3-2a2 3 )≥0 x＞a

，
討論：當a∈（

2

2

，

6

2

）時，解集為（a，+∞）；…（10分）
當a∈(0，

2

2

]時，解集為[

a+ 3-2a2

3

，+∞）．…（11分）
綜上：當a＞

2

2

時，解集為{x|x＞a}；
當a∈(0，

2

2

]時，解集為[

a+ 3-2a2

3

，+∞）．（12分）