Question

設二次函數f(x)=ax²+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的兩個根x₁、x₂滿足0＜x₁＜x₂＜。
(1)當x∈［0，x₁時，證明x＜f(x)＜x₁；
(2)設函數f(x)的圖像關于直線x=x₀對稱，證明：x₀＜。

Answer 1

(1)證明略， (2)證明略

(1)令F(x)=f(x)－x，因為x₁，x₂是方程f(x)－x=0的根，所以F(x)=a(x－x₁)(x－x₂). 當x∈(0，x₁)時，由于x₁＜x₂，得(x－x₁)(x－x₂)＞0，
又a＞0，得F(x)=a(x－x₁)(x－x₂)＞0，即x＜f(x)
x₁－f(x)=x₁－［x+F(x)］=x₁－x+a(x₁－x)(x－x₂)=(x₁－x)［1+a(x－x₂)］
∵0＜x＜x₁＜x₂＜，∴x₁－x＞0，1+a(x－x₂)=1+ax－ax₂＞1－ax₂＞0
∴x₁－f(x)＞0，由此得f(x)＜x₁.
(2)依題意: x₀=－，因為x₁、x₂是方程f(x)－x=0的兩根，即x₁，x₂是方程ax²+(b－1)x+c=0的根.
∴x₁+x₂=－
∴x₀=－，因為ax₂＜1，
∴x₀＜.