Question

已知函數f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3）（0＜a＜1）
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）求函數f（x）的零點；
（3）若函數f（x）的最小值為-4，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據對數的真數大于零，列出不等式組并求出解集，函數的定義域用集合或區間表示出來；
（2）利用對數的運算性質對解析式進行化簡，再由f（x）=0，即-x²-2x+3=1，求此方程的根并驗證是否在函數的定義域內；
（3）把函數解析式化簡后，利用配方求真數在定義域內的范圍，再根據對數函數在定義域內遞減，求出函數的最小值log_a4，得log_a4=-4利用對數的定義求出a的值．

解答：解：（1）要使函數有意義：則有

1-x＞0 x+3＞0

，解之得：-3＜x＜1，
則函數的定義域為：（-3，1）
（2）函數可化為f（x）=log_a（1-x）（x+3）=log_a（-x²-2x+3）
由f（x）=0，得-x²-2x+3=1，
即x²+2x-2=0，x=-1±

3

∵-1±

3

∈(-3，1)，∴函數f（x）的零點是-1±

3

（3）函數可化為：
f（x）=log_a（1-x）（x+3）=log_a（-x²-2x+3）=log_a[-（x+1）²+4]
∵-3＜x＜1，∴0＜-（x+1）²+4≤4，
∵0＜a＜1，∴log_a[-（x+1）²+4]≥log_a4，
即f（x）_min=log_a4，由log_a4=-4，得a^-4=4，
∴a=4-

1

4

=

2

2

點評：本題是關于對數函數的綜合題，考查了對數的真數大于零、函數零點的定義和對數型的復合函數求最值，注意應在函數的定義域內求解．