Question

已知函數f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．設函數f（x）在區間（-

2

3

，-

1

3

）內是減函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：求出導函數，令導函數小于等于0在區間（-

2

3

，-

1

3

）內恒成立，分離出參數a，求出函數的范圍，得到a的范圍．

解答：解：對函數f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．求導得f'（x）=3x²+2ax+1，
因為函數f（x）在區間（-

2

3

，-

1

3

）內是減函數，
所以當x∈（-

2

3

，-

1

3

）時f′（x）≤0恒成立，
結合二次函數的性質可知

f′(- 2 3 )≤0 f′(- 1 3 )≤0

，即

3×(- 2 3 )2+2a×(- 2 3 )+1≤0 3×(- 1 3 )2+2a×(- 1 3 )+1≤0

解得a≥2．
故a的取值范圍為（2，+∞）

點評：解決函數在區間上的單調性已知求參數的范圍的問題，遞增時令導函數大于等于0恒成立；遞減時，令導數小于等于0恒成立．