Question

如圖，橢圓的離心率為，軸被曲線截得的線段長等于的長半軸長。

（1）求，的方程；
（2）設與軸的交點為M，過坐標原點O的直線與相交于點A,B,直線MA,MB分別與相交與D,E.
①證明：；
②記△MAB,△MDE的面積分別是.問：是否存在直線,使得=?請說明理由。

Answer 1

（1）
（2）①見解析      ②滿足條件的直線存在，且有兩條，其方程分別為和

（1）由題意知，從而，又，解得。
故，的方程分別為。
（2）①由題意知，直線的斜率存在，設為，則直線的方程為.
由得，
設，則是上述方程的兩個實根，于是。
又點的坐標為，所以

故，即。
②設直線的斜率為，則直線的方程為，由解得或，則點的坐標為
又直線的斜率為 ，同理可得點B的坐標為.
于是
由得，
解得或，則點的坐標為；
又直線的斜率為，同理可得點的坐標
于是
因此
由題意知，解得 或。
又由點的坐標可知，，所以
故滿足條件的直線存在，且有兩條，其方程分別為和。