Question

已知橢圓.
（1）我們知道圓具有性質：若為圓O：的弦AB的中點，則直線AB的斜率與直線OE的斜率的乘積為定值。類比圓的這個性質，寫出橢圓的類似性質，并加以證明；
（2）如圖（1），點B為在第一象限中的任意一點，過B作的切線，分別與x軸和y軸的正半軸交于C，D兩點，求三角形OCD面積的最小值；
（3）如圖（2），過橢圓上任意一點作的兩條切線PM和PN，切點分別為M，N.當點P在橢圓上運動時，是否存在定圓恒與直線MN相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由.
    
圖（1）                                    圖（2）

Answer 1

（1）見解析  （2）   （3）存在，

（1）若A，B為橢圓上相異的兩點，為A，B中點，當直線AB的斜率與直線OP的斜率的乘積必為定值;(1分)
證1：設，則
（2）-（1）得：，(2分)
僅考慮斜率存在的情況
(4分)
證2：設AB：與橢圓聯立得：
， (2分)
所以(4分)
（2）（ⅰ）當點A無限趨近于點B時，割線AB的斜率就等于橢圓上的B的切線的斜率，
即，
所以點B處的切線QB：(6分)
令，，令，所以(8分)
又點B在橢圓的第一象限上，所以

，當且僅當
所以當時，三角形OCD的面積的最小值為---10分（沒寫等號成立扣1分）
（ⅱ）設，由（ⅰ）知點處的切線為：
又過點，所以，又可理解為點在直線上同理點在直線上，所以直線MN的方程為： (12分)
所以原點O到直線MN的距離，所以直線MN始終與圓相切.  (14分)