Question

.(本小題滿(mǎn)分12分)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，一個(gè)頂點(diǎn)為，且其右焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為3．
(1)求橢圓的方程；
(2)是否存在斜率為 ，且過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)，使與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，且？若存在，求出直線(xiàn)的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）. （Ⅱ）或。

本試題主要是考查了橢圓方程的求解和直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。
（1）設(shè)橢圓的方程為,由已知得.    
設(shè)右焦點(diǎn)為，由題意得 得到結(jié)論。
（2）直線(xiàn)的方程   ， 代入橢圓方程,得
    
由  得結(jié)合韋達(dá)定理和點(diǎn)在線(xiàn)段的中垂線(xiàn)上，得到k的值。
解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為,由已知得.    
設(shè)右焦點(diǎn)為，由題意得     ……………………………2分
.  
橢圓的方程為.    ……………………4分
（Ⅱ）直線(xiàn)的方程   ， 代入橢圓方程,得
    
由  得…………………6分
設(shè)點(diǎn)則   
設(shè)、的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.  ………………8分 
點(diǎn)在線(xiàn)段的中垂線(xiàn)上.                      
     化簡(jiǎn),得 .  ……………………………10分 
 
所以,存在直線(xiàn)滿(mǎn)足題意，直線(xiàn)的方程為
或 ……………………………12分