Question

以下四個(gè)命題：
①PA、PB是平面α的兩條長(zhǎng)度相等的斜線段，則它們?cè)谄矫姒羶?nèi)的射影的長(zhǎng)度必相等；
②平面α內(nèi)的兩直線l₁、l₂，若l₁、l₂均與平面β平行，則α∥β；
③若平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面β的距離相等，則α∥β；
④α、β為兩相交平面，且α不垂直于β，α內(nèi)有一定直線l，則在平面β內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與l垂直．
其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：根據(jù)空間平行與垂直的有關(guān)定理，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)加以判斷：利用線面垂直的定義，通過(guò)計(jì)算可得①正確；根據(jù)面面平行的判定定理，可得②錯(cuò)；根據(jù)平行于平面的直線到平面距離相等，可以舉出反例說(shuō)明③錯(cuò)；根據(jù)異面直線所成角的含義，可以結(jié)合已知條件作出輔助線，從而證出④正確．

解答：解：對(duì)于①，設(shè)點(diǎn)P到平面α的距離等于d，可得
斜線段PA在平面α內(nèi)的射影長(zhǎng)為：

PA2-d2

，
同理可得PB在平面α內(nèi)的射影長(zhǎng)：

PB2-d2

，
若PA=PB，則PA、PB平面α內(nèi)的射影的長(zhǎng)度必相等，故①正確；
對(duì)于②，若平面α內(nèi)的相交直線l₁、l₂，且l₁、l₂均與平面β平行，則α∥β
但沒(méi)有相交這個(gè)條件，換成l₁∥l₂結(jié)論就不一定成立，故②錯(cuò)；
對(duì)于③，若平面α與平面β垂直相交，在平面α內(nèi)作出交線的平行線m，
則直線m上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面β的距離相等，說(shuō)明平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面β的距離相等，
但結(jié)論“α∥β”不成立，故③錯(cuò)；
對(duì)于④，α、β為兩相交平面，設(shè)它們的交線是m，在平面β內(nèi)可作出m的垂線n，
并且這樣的垂線有無(wú)數(shù)條，那只要直線l在α內(nèi)與m保持平行，則必有l(wèi)⊥n，
即便是α不垂直于β，在α內(nèi)有也存在直線l，與平面β內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直，故④正確．
綜上，得正確的選項(xiàng)是①④
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題以命題真假的判斷為載體，考查了立體幾何中空間的平行與垂直位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題．考查了推理證明的能力和空間想象能力．