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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知向量
a
=(
3
，-1)，
b
=(
1
2
，
3
2
)．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）是否存在最小的常數k，對于任意的正數s，t，使
x
=
a
+(t+2s)
b
與
y
=-k
a
+(
1
t
+
1
s
)
b
垂直？如果存在，求出k的最小值；如果不存在，請說明理由．
分析：（1）由向量
a
=(
3
，-1)，
b
=(
1
2
，
3
2
)，知
a
•
b
= 
3
×
1
2
+(-1)×
3
2
=0，由此能證明
a
⊥
b
．
（2）存在最小的常數k，對于任意的正數s，t，使
x
=
a
+(t+2s)
b
與
y
=-k
a
+(
1
t
+
1
s
)
b
垂直．由
x
=
a
+(t+2s)
b
，
y
=-k
a
+(
1
t
+
1
s
)
b
，知
x
•
y
=[
a
+(t+2s)
b
]•[-k
a
+(
1
t
+
1
s
)
b
]=-4k+1+
2s
t
+
t
s
+2=0，由此能求出k的最小值．
解答：解：（1）∵向量
a
=(
3
，-1)，
b
=(
1
2
，
3
2
)，
∴
a
•
b
= 
3
×
1
2
+(-1)×
3
2
=0，
∴
a
⊥
b
．
（2）存在最小的常數k，對于任意的正數s，t，使
x
=
a
+(t+2s)
b
與
y
=-k
a
+(
1
t
+
1
s
)
b
垂直．
∵向量
a
=(
3
，-1)，
b
=(
1
2
，
3
2
)，
∴
a
•
b
=0，
∵
x
=
a
+(t+2s)
b
，
y
=-k
a
+(
1
t
+
1
s
)
b
，
∴
x
•
y
=[
a
+(t+2s)
b
]•[-k
a
+(
1
t
+
1
s
)
b
]
=-k
a
2-k（t+2s）
a
•
b
+（
1
t
+
1
s
）
a
•
b
+（t+2s）（
1
t
+
1
s
）•
b
 2
=-4k+1+
2s
t
+
t
s
+2=0，
∴k=
3+
2s
t
+
t
s
4

≥
3+2
2s
t
• 
t
s
4

=
3+2
2
4
．
∴k的最小值是
3+2
2
4
．
點評：本題考查平面向量垂直的證明和兩向量垂直時最小的k的求法，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(3，1)，
b
=(1，3)，
c
=(k，2)，若(
a
-
c
)⊥
b
則k=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(
3
，1)，
b
=(-1，0)，則向量
a
與
b
的夾角為（　　）
A、
π
6
B、
2π
3
C、
π
2
D、
5π
6

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(3，2)，
b
=(2，n)，若
a
與
b
垂直，則n=（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(-3，4)，
b
=(1，-1)，則向量
a
在
b
方向上的投影為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(-3，4)，
b
=(5，-2)，則|
a
-
b
|=
10
10
．

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同步練習冊答案
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