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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知向量
a
=(
3
,-1)
b
=(
1
2
3
2
)

(1)求證:
a
b

(2)是否存在最小的常數k,對于任意的正數s,t,使
x
=
a
+(t+2s)
b
y
=-k
a
+(
1
t
+
1
s
)
b
垂直?如果存在,求出k的最小值;如果不存在,請說明理由.
分析:(1)由向量
a
=(
3
,-1)
b
=(
1
2
3
2
)
,知
a
b
3
×
1
2
+(-1)×
3
2
=0,由此能證明
a
b

(2)存在最小的常數k,對于任意的正數s,t,使
x
=
a
+(t+2s)
b
y
=-k
a
+(
1
t
+
1
s
)
b
垂直.由
x
=
a
+(t+2s)
b
y
=-k
a
+(
1
t
+
1
s
)
b
,知
x
y
=[
a
+(t+2s)
b
]•[-k
a
+(
1
t
+
1
s
)
b
]
=-4k+1+
2s
t
+
t
s
+2=0,由此能求出k的最小值.
解答:解:(1)∵向量
a
=(
3
,-1)
b
=(
1
2
3
2
)

a
b
3
×
1
2
+(-1)×
3
2
=0,
a
b

(2)存在最小的常數k,對于任意的正數s,t,使
x
=
a
+(t+2s)
b
y
=-k
a
+(
1
t
+
1
s
)
b
垂直.
∵向量
a
=(
3
,-1)
b
=(
1
2
3
2
)

a
b
=0

x
=
a
+(t+2s)
b
y
=-k
a
+(
1
t
+
1
s
)
b

x
y
=[
a
+(t+2s)
b
]•[-k
a
+(
1
t
+
1
s
)
b
]

=-k
a
2
-k(t+2s)
a
b
+(
1
t
+
1
s
a
b
+(t+2s)(
1
t
+
1
s
b
 2

=-4k+1+
2s
t
+
t
s
+2=0,
∴k=
3+
2s
t
+
t
s
4

3+2
2s
t
• 
t
s
4

=
3+2
2
4

∴k的最小值是
3+2
2
4
點評:本題考查平面向量垂直的證明和兩向量垂直時最小的k的求法,考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉化思想.對數學思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強,難度大,是高考的重點.解題時要認真審題,仔細解答.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知向量
a
=(3,1)
b
=(1,3)
c
=(k,2)
,若(
a
-
c
)⊥
b
則k=
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知向量
a
=(
3
,1),
b
=(-1,0),則向量
a
b
的夾角為(  )
A、
π
6
B、
3
C、
π
2
D、
6

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知向量
a
=(3,2)
b
=(2,n)
,若
a
b
垂直,則n=(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知向量
a
=(-3,4)
b
=(1,-1)
,則向量
a
b
方向上的投影為(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知向量
a
=(-3,4),
b
=(5,-2)
,則|
a
-
b
|
=
10
10

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同步練習冊答案
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