Question

已知函數f（x）=x（x-a）（x-b），其中0＜a＜b．
（1）設f（x）在x=s和x=t處取得極值，其中s＜t，求證：0＜s＜a＜t＜b；
（2）設A（s，f（s）），B（t，f（t）），求證：線段AB的中點C在曲線y=f（x）上；
（3）若a+b＜2

2

，求證：過原點且與曲線y=f（x）相切的兩條直線不可能垂直．

Answer 1

分析：（1）根據函數的極值點出導數為0，知，極值點是導數等于零的根，所以先求導，再解導數等于零，兩根為s，t，再判斷x=a，b時導數的正負，比較大小即可．
（2）求出AB的中點坐標，再代入y=f（x），判斷是否成立即可．
（3）如果兩條切線互相垂直，則斜率乘積等于-1，所以要證兩條切線不可能垂直，只需證明它們斜率之積不等于-1即可，利用曲線的切線斜率是該點處的導數來計算．

解答：解：（1）f（x）=x³-（a+b）x²+abx，∴f'（x）=3x²-2（a+b）x+ab=0的兩根為s，t，
令f'（x）=g（x），∵0＜a＜b，∴g（0）=ab＞0，g（a）=a（a-b）＜0，g（b）=b（b-a）＞0，
故有0＜s＜a＜t＜b．
（2）設AB中點C（x₀，y₀），則x0=

s+t

2

，y0=

f(s)+f(t)

2

，
故有s+t=

2(a+b)

3

，st=

ab

3

，∴x0=

a+b

3

，f(s)+f(t)=(s3+t3)-(a+b)(s2+t2)+ab(s+t)=-

4

27

(a+b)3+

2

3

ab(a+b)．
∴y0=-

2

27

(a+b)3+

1

3

ab(a+b)．
代入驗算可知C在曲線y=f（x）上．
（3）過曲線上的點（x₁，y₁）的切線的斜率是3₁x²-2（a+b）x₁+ab，
當x₁=0時，切線的斜率k₁=ab；
當x₁≠0時，3x12-2(a+b)x1+ab=

y1

x1

=(x1-a)(x1-b)，∴x1=

a+b

2

，
∴切線斜率k2=-

1

4

(a+b)2+ab．
∵0＜a+b＜2

2

，∴

1

4

(a+b)2∈(0，2)，∴k₂＞（ab-2）
∴k₁k₂=abk₂＞ab（ab-2）=（ab-1）²-1≥-1
∴k₁k₂≠-1，故過原點且與曲線相切的兩條直線不可能垂直．

點評：本題主要考查導數，切線極值 知識，屬于基礎知識，基本運算的考查．