Question

已知函數f(x)＝x⁴－4x³＋ax²－1在區間[0，1]上單調遞增，在區間[1，2]上單調遞減；

⑴求a的值；

⑵是否存在實數b，使得函數g(x)＝bx²－1的圖象與函數f(x)的圖象恰有2個交點，若存在，求出實數b的值；若不存在，試說明理由

Answer 1

解析：⑴∵f(x)在區間[0，1]上單調遞增，在區間[1，2]上單調遞減，

∴f’(1)＝0，f’(1)＝4x³－12x²＋2ax|_x＝1＝2a－8＝0，∴a＝4；

⑵由⑴知f(x)＝x⁴－4x³＋4x²－1，由f(x)＝g(x)可得x⁴－4x³＋4x²－1＝bx²－1

即x²(x²－4x＋4－b)＝0．

∵f(x)的圖象與g(x)的圖象只有兩個交點，

∴方程x²－4x＋4－b＝0有兩個非零等根或有一根為0，另一個不為0，

∴Δ＝16－4（4－b）＝0，或4 b ＝ 0，∴b ＝ 0或b ＝ 4．