Question

如圖：A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，且|AB|＝2，動(dòng)點(diǎn)M到A點(diǎn)的距離是4，線段MB的垂直平分線l交MA于點(diǎn)P，直線k垂直于直線AB，且B點(diǎn)到直線k的距離為3．

(Ⅰ)建立適當(dāng)的坐標(biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

(Ⅱ)求證：點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離與點(diǎn)P到直線k的距離之比為定值；

(Ⅲ)(理)若點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積為m，當(dāng)m取最大值時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：以直線AB為x軸，AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－1，0)，(1，0)．　　∵l為MB的垂直平分線， 　　∴|PM|＝|PB|，|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PM|＝4． 　　∴P點(diǎn)的軌跡是以A，B為兩個(gè)焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，其方程是：＋＝1． 　　(Ⅱ)證明：∵橢圓的右準(zhǔn)線方程是x＝4恰為直線k的方程．根據(jù)橢圓的定義知點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離與點(diǎn)P到直線k的距離之比為離心率e＝ 　　(Ⅲ)解：m＝|PA|·|PB|≤＝4，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|時(shí)，m最大，這時(shí)點(diǎn)P在y軸上，故點(diǎn)P的坐標(biāo)是：(0，)或(0，－)．