Question

設函數f（x）=x²+4x-5，g（x）=ax+3，若不存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0與g（x₀）＜0同時成立，則實數a的取值范圍是

[-3，

3

5

]

．

Answer 1

分析：函數f（x）的圖象開口向上，對稱軸為x=-2，g（x）=ax+3的圖象恒過定點（0，3），利用這兩個定點，結合圖象解決．

解答：解：由于函數f（x）的圖象開口向上，對稱軸為x=-2，
且f（1）=0，f（-5）=0，故若存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0，必有-5＜x₀＜1
又由g（x）=ax+3中恒過（0，3），
故由函數的圖象知：
①若a=0時，g（x）=3恒大于0，顯然不存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0與g（x₀）＜0同時成立，故a=0．
②若a＞0時，g（x₀）＜0?x₀＜-

3

a

若不存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0與g（x₀）＜0同時成立，則必有-

3

a

≤-5，解得a≤

3

5

，故0＜a≤

3

5

．
③若a＜0時，g（x₀）＜0?x₀＞-

3

a

若不存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0與g（x₀）＜0同時成立，則必有-

3

a

≥1，解得a≥-3，故-3≤a＜0．
綜上可知，實數a的取值范圍是：-3≤a≤

3

5

故答案為：[-3，

3

5

]

點評：本題主要考查了二次函數和一次函數的圖象和性質，不等式恒成立和能成立問題的解法，分類討論的思想方法和轉化化歸的思想方法，充分挖掘題目中的隱含條件，結合圖象法，可使問題的解決來得快捷．本題告訴我們，圖解法對于解決存在性問題大有幫助．