Question

（本大題滿分12分）已知函數在R上有定義，對任何實數和任何實數，都有
（Ⅰ）證明；（Ⅱ）證明 其中和均為常數；
（Ⅲ）當（Ⅱ）中的時，設，討論在內的單調性并求極值

Answer 1

（Ⅰ）同解析（Ⅱ）同解析
（Ⅲ）當時， 是單調遞減函數；當時， 是單調遞增函數；當時，函數在內取得極小值，極小值為

證明（Ⅰ）令，則，∵，∴。
（Ⅱ）①令，∵，∴，則。
假設時，，則，而，∴，即成立。
②令，∵，∴，
假設時，，則，而，∴，即成立。∴成立。
（Ⅲ）當時，，
令，得；
當時，，∴是單調遞減函數；
當時，，∴是單調遞增函數；
所以當時，函數在內取得極小值，極小值為