Question

在下列函數中，最小值是2的是（　　）

• A．y=

  x

  5

  +

  5

  x

• B．y=lgx+

  1

  lgx

  (1＜x＜10)
• C．y=3^x+3^-x（x∈R）
• D．y=sinx+

  1

  sinx

  (0＜x＜

  π

  2

  ）

Answer 1

分析：利用均值定理求函數最值需要滿足三個條件即一“正”，二“定”，三“等號”，選項A不滿足條件一“正”；選項B、D不滿足條件三“等號”，即等號成立的條件不具備，而選項C三個條件都具備

解答：解：當x＜0時，y=

x

5

+

5

x

＜0，排除A，
∵lgx=

1

lgx

在1＜x＜10無解，∴y=lgx+

1

lgx

(1＜x＜10)大于2，但不能等于2，排除B
∵sinx=

1

sinx

在0＜x＜

π

2

上無解，∴y=sinx+

1

sinx

(0＜x＜

π

2

）大于2，但不能等于2，排除D
對于函數y=3^x+3^-x，令3^x=t，則t＞0，y=t+

1

t

≥2

t• 1 t

=2，（當且僅當t=1，即x=0時取等號）
∴y=3^x+3^-x的最小值為2
故選C

點評：本題考察了均值定理求函數最值的方法，解題時要牢記口訣一“正”，二“定”，三“等號”，并用此口訣檢驗解題的正誤