Question

已知點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓L：上不同的兩點，線段AB的中點為．
（1）求直線AB的方程；
（2）若線段AB的垂直平分線與橢圓L交于點C、D，試問四點A、B、C、D是否在同一個圓上，若是，求出該圓的方程；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：解一：（1）將點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓方程，兩式相減，再利用線段AB的中點為，可求直線AB的斜率．故可求直線AB的方程；
解二：當直線AB的不存在時，AB的中點在x軸上，不符合題意．設直線AB的方程為y-1=k（x-2），與橢圓方程聯立，消去y，得（1+2k²）x²-（8k²-4k）x+8（k²-k-2）=0，利用AB的中點為M（2，1），結合韋達定理，可求直線AB的方程．
（2）由 消去y，得3x²-12x=0，求得A（0，3），B（4，-1），將線段AB的垂直平分線方程與橢圓方程聯立，消去y，得3x²-4x-16=0，從而可求線段CD的中點E的坐標，進而可知四點A、B、C、D在同一個圓上，從而可求圓的方程．
解答：解一：（1）∵點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓L上不同的兩點，
∴，．
以上兩式相減得：，
即，，
∵線段AB的中點為，
∴．
∴，
當x₁=x₂，由上式知，y₁=y₂則A，B重合，與已知矛盾，因此x₁≠x₂，
∴．
∴直線AB的方程為y-1=-（x-2），即x+y-3=0．
由 消去y，得3x²-12x=0，解得x=0或x=4．
∴所求直線AB的方程為x+y-3=0．
解二：當直線AB的不存在時，AB的中點在x軸上，不符合題意．
故可設直線AB的方程為y-1=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由 消去y，得（1+2k²）x²-（8k²-4k）x+8（k²-k-2）=0（*）
∴．
∵AB的中點為M（2，1），
∴x₁+x₂=4．
∴．
解得k=-1．
此時方程（*）為3x²-12x=0，其判別式△=144＞0．
∴所求直線AB的方程為x+y-3=0．
（2）由于直線AB的方程為x+y-3=0，則線段AB的垂直平分線CD的方程為y-1=x-2，即x-y-1=0．
由 消去y，得3x²-12x=0，解得x=0或x=4．
∴A（0，3），B（4，-1）
由消去y，得3x²-4x-16=0
設C（，），D（，），
∴．
∴線段CD的中點E的橫坐標為，縱坐標．
∴E．
∴．
∵=，
=，
∴四點A、B、C、D在同一個圓上，此圓的圓心為點E，半徑為，
其方程為．
點評：本題重點考查橢圓中弦的中點問題，考查四點共圓，解題時，利用設而不求法是關鍵，考查韋達定理的運用，綜合性強．