Question

已知在()ⁿ的展開式中，第6項為常數項.

(1)求n；

(2)求含x²的項的系數；

(3)求展開式中所有的有理項.

Answer 1

解析：(1)通項公式為T_r+1=.

∵第6項為常數項,

∴r=5時有=0,即n=10.

(2)令=2,得r=(n-6)=2,

∴所求的系數為 (-3)²=405.

(3)根據通項公式，由題意得

令=k(k∈Z),

則10-2r=3k,即r=5-k.

∵r∈Z,∴k應為偶數.

∴k可取2，0，-2,即r可取2,5,8.

∴第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為(-3)²x²,(-3)⁵,·(-3)⁸x^-2.

小結：(1)本題是先求二項式的指數，再求與通項有關的其他問題.一般地，解此類問題可以分兩步完成：第一步是根據所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數〔求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件(n、r均為非負整數，n≥r)〕；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項.此外，解本題時，為減少計算中的錯誤，宜把根式化為分數指數冪.

(2)題設展開式中有常數項的條件，實際上隱含了未知數的零次項的存在，所以n-2r=0，因此，由有常數項的條件可求得n.反之，若已知n，求展開式中常數項時，可先假設展開式的第r+1項為常數項，合并通項公式中同一字母的指數得f(r),然后令f(r)=0,從中求得r的非負整數值，即得所求的項.

(3)所謂求二項展開式中的有理項，一般是根據通項公式所得到的項，其所有的未知數的指數恰好都是整數的項.解這類型的問題必須合并通項公式中同一字母的指數，根據具體要求，令其屬于整數，再根據數的整除性來求解.若求二項展開式中的整式項，則其通項公式中同一字母的指數應是非負整數.求解方式與求有理項一致.

(4)由本題的第(2)題知，二項式系數與系數是兩個不同的概念，本題中x²項的系數為405，而x²項的二項式系數為=45，初學者要能區別，切不可混淆.