Question

【題目】點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).

（1）若點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為， 求直線(xiàn)的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn).點(diǎn)是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與軸負(fù)半軸的交點(diǎn).試判斷直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，并給出證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，即不符合題意．當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，所以，由此能求出直線(xiàn)的方程．

（2）直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切．設(shè)，，則．因?yàn)?/span>，所以，，由此能夠證明直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切．

解：（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，

當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，即不符合題意.

當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線(xiàn)的方程為：，即.

所以，，解得：.

故直線(xiàn)的方程為：，即

（2）直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，證明如下：

設(shè)，則.

因?yàn)?/span>，所以.

所以直線(xiàn)的方程為：，

整理得：（1）

把方程（1）代入得：，

，

所以直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切.