Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，PD⊥底面ABCD，點M、N分別是棱AB、CD的中點．
（1）證明：BN⊥平面PCD；
（2）在線段PC上是否存在點H，使得MH與平面PCD所成最大角的正切值為 ，若存在，請求出H點的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD，

∵四邊形ABCD為菱形，∠BCD=∠BAD=60°

∴△BCD為正三角形，∵N為CD中點，所以BN⊥CD

∵PD⊥平面ABCD，BN平面ABCD，∴PD⊥BN，

又PD平面PCD，CD平面PCD，CD∩PD=D，∴BN⊥平面PCD

（2）解：假設線段PC上存在一點H，連接MH，DH，MD，

MBDN為平行四邊形，∴MD∥BN，

由（1）BN⊥平面PCD∴MD⊥平面PCD，∴∠MHD為MH與平面PCD所成的角

在直角三角形MDH中， ，當DH最小，即DH⊥PC時，∠DHM最大，

，

∴

在Rt△DHC中 ，∴

∴線段PC上存在點H，當 時，使MH與平面PCD所成最大角的正切值為

【解析】（1）連接BD，證明：BN⊥CD，PD⊥BN，即可證明BN⊥平面PCD；（2）假設線段PC上存在一點H，連接MH，DH，MD，可得∠MHD為MH與平面PCD所成的角，在直角三角形MDH中， ，當DH最小，即DH⊥PC時，∠DHM最大，利用條件求出CH，即可得出結論．