Question

已知橢圓的離心率為，且兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)端點(diǎn)是一個(gè)等腰三角形的頂點(diǎn)．斜率為的直線過橢圓的上焦點(diǎn)且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸相交于點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求的取值范圍；
（Ⅲ）試用表示△的面積，并求面積的最大值．

Answer 1

 
解：（Ⅰ）依題意可得，，，
又，
可得．
所以橢圓方程為．
（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，
由可得．
設(shè)，
則，．
可得．
設(shè)線段中點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由題意有，
可得．
可得，
又，
所以．
（Ⅲ）設(shè)橢圓上焦點(diǎn)為，
則.
，
由，可得．
所以．
又，
所以.
所以△的面積為（）．
設(shè)，
則．
可知在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減．
所以，當(dāng)時(shí)，有最大值．
所以，當(dāng)時(shí)，△的面積有最大值

略