Question

( (本題滿分15分
)橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，并與直線相切.

(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)如圖，過圓：上任意一點作橢圓的兩條切線． 求證：．

Answer 1

解：（Ⅰ）由知
橢圓方程可設為 .
又，直線與橢圓相切，代入后方程
滿足 .由此得
故橢圓的方程為    ----------------6分
（Ⅱ）設.當時，有一條切線斜率不存在，此時，剛好，
可見，另一條切線平行于軸，；   ----------------7分
設，則兩條切線斜率存在.設直線的斜率為，
則其方程為

高三數學理科一模參答—4（共6頁）

即代入并整理得：

             ---------------9分
由可得：            ---------------11分
注意到直線的斜率也適合這個關系，所以的斜率就是上述方程的兩根，由韋達定理，.                     ---------------13分
由于點在圓：上，，
所以這就證明了.
綜上所述，過圓上任意一點作橢圓的兩條切線，總有.  ------15分

略