Question

本小題滿分12分)
已知函數f (x)=x³+ ax²－bx (a, b∈R) .
(1)若y=f (x)圖象上的點(1，－)處的切線斜率為－4，求y=f (x)的極大值；
(2)若y=f (x)在區間[－1，2]上是單調減函數，求a + b的最小值.

Answer 1

解：(1)∵f ′(x)=x²+2ax－b ,
∴ 由題意可知：f ′(1)=－4且f (1)=－,
∴ 解得：…………………………2分

∴ f (x)=x³－x²－3x。
f ′(x)=x²－2x－3=（x+1）（x－3）.
令f ′(x)=0，得x₁=－1，x₂=3，……………3分
由此可知：

x	(－∞,－1)	－1	(－1, 3)	3	(3, +∞)
f ’(x)	+	0	－	0	+
f (x)	↗	f (x)極大5/3	↘	f (x) 極小	↗

∴ 當x=－1時, f (x)取極大值. …………………………6分
(2) ∵y=f (x)在區間[－1，2]上是單調減函數，
∴f ′(x)=x²+2ax－b≤0在區間[－1，2]上恒成立.
根據二次函數圖象可知f ′(－1)≤0且f ′(2)≤0，即：
也即…………………9分

作出不等式組表示的平面區域如圖：
當直線z=a+b經過交點P(－, 2)時，
z=a+b取得最小值z=－+2=,
∴z=a+b取得最小值為……………………12分

解析