Question

（本題滿分12分）

如圖，四棱錐P-ABCD的側面PAD垂直于底面ABCD，∠ADC=∠BCD=,PA=PD=AD=2BC=2，CD,M在棱PC上，N是AD的中點，二面角M-BN-C為.
（1）求的值；
（2）求直線與平面BMN所成角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）作ME∥CD，ME∩PD＝E．
∵∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝2BC＝2，N是AD的中點，∴BN⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，∴BN⊥平面PAD，
∴BN⊥NE，∠DNE為二面角M-BN-C的平面角，∠DNE＝30°．……………3分
∵PA＝PD＝AD，∴∠PDN＝60°，∴∠DEN＝90°，∴DE＝DP，
∴CM＝CP，故＝3．…………………………………………………………6分
（Ⅱ）連結BE，由（Ⅰ）的解答可知PE⊥平面BMN，則∠PBE為直線PB與平面BMN所成的角．連結PN，則PN⊥平面ABCD，從而PN⊥BN，
∴PB＝＝＝，…………………………………………9分
又PE＝PD＝，∴sin∠PBE＝＝．
所以直線PB與平面MBN所成的角為arcsin．………………………………12分

解法二：
（Ⅰ）建立如圖所示的坐標系N—xyz，其中N(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，D(－1，0，0)，P(0，0，)．
設＝λ（λ＞0），則M(，，)，于是
＝(0，，0)，＝(，，)，………………………………3分
設n＝(x，y，z)為面MBN的法向量，則·n＝0，·n＝0，
∴y＝0，－λx＋λy＋z＝0，取n＝(，0，λ)，
又m＝(0，0，1)為面BNC的法向量，由二面角M-BN-C為30°，得[來源:學科網ZXXK]
|cosám，nñ|＝＝＝cos30°＝，解得λ＝3，
故＝3．……………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），n＝(，0，3)為面MBN的法向量，……………………………8分
設直線PB與平面MBN所成的角為θ，由＝(0，，－)，得
sinθ＝|\o(PB,\s\up5(→________＝＝，
所以直線PB與平面MBN所成的角為arcsin．………………………………12分

解析